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前言
看到这个标题，大家是不是觉得很奇怪呢？无穷大就是无穷大，怎么无穷大还能分个三六九等？
然而数学有的时候不一定跟着直觉走。很多时候，经过严格的推理和论证，我们可以得出很多反直觉，但确实正确的结论。
在数学上，关于无穷大的讨论，人们曾经经历了很多的争论，甚至还把相关理论的发明人，数学家康托尔，逼到精神失常。所幸，现在这个争论终于尘埃落定，现代数学关于无穷大已经有了一套比较完备的理论。姑且写出来，分享之。
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神奇的希尔伯特旅馆
希尔伯特旅馆是数学上一个著名的思想实验，也是关于无穷大的理论的基石。或许不少看到这篇文章的小伙伴之前都听过。不过我这里，还是觉得以这个引入是最好的，所以这里就再写一遍咯。没接触过的小伙伴正好来看一下~
设想有一个无限大的旅馆，里面有标号1,2,3...的无穷多个房间。现在，所有的客房都有客人了。考察下列情景：
某天，张三带着他朋友们组成了一个10人旅行团来这里旅游，想要住这个旅馆，请问能不能给他们安排房间？
第二天，张三雇了一辆无穷巴士，带来了标号1,2,3...的无穷多个朋友来这里旅游。请问，能不能把他们都安排上房间？
第三天，张三找了一个无穷旅行社，从里面雇了编号1,2,3...的无穷多个巴士，每一个巴士上都有标号1,2,3...的无穷多个客人。请问，能不能把他们都安排上房间？
第四天，张三找了一辆超级无穷巴士，上面的客人不用1,2,3...编号，而是每人身上都贴着一个标签，标签上写着只包含"x"和"y"这两个字母的无限长的字符串。假设每个人身上的标签组合起来，可以包含所有由"x"和"y"这两个字母的无限长的字符串组成的字符，并且不同人对应的字符各不相同。请问，此时还能给这些人安排房间吗？
正确答案是：前三天都可以，第四天这个旅馆就歇菜了。
第一天，只要让编号的房间里的客人移动到第号房间去住，前10个房间就腾出来了。
第二天，把所有正整数分成奇偶两组，让编号为的房间里的客人移动到号房间去住，然后让第个客人住第号客房即可。
第三天，还是先让编号为的房间里的客人移动到号房间去住，把1,3,5,7,9...号客房腾出来。我们把第个巴士上的第个客人记作。那么，让（即）住第1号客房，让（即）住第3,5号客房，让（即）住第7,9,11号客房，让（即）住第13,15,17,19号客房……如此继续下去，按照的值从小到大的顺序一组一组安排，总能把所有客人安排进去。
然而到了第四天，事情就不对劲了。假设我们把所有的客人都安排进去了。现在，考察这么一个客人，对于任意正整数，他身上对应的字符串的第位和第名已经入住酒店的客人的第个字符不相同（也就是如果入住的客人的那一位是x，他就取y，反之亦然）。这样一来，这个客人的字符就和每一名已经入住的客人的。从而，这个客人没有入住，这和我们的假设所有客人都安排进去了矛盾。借助反证法的思想我们知道，这个旅馆第四天必须挂出今日满员的牌子。
下面的图可以帮助大家理解第4天发生的事情：
无穷大到底怎么比大小？
一一对应原则
从上面的例子可以看到，无穷大之间比大小，就不像有限量比大小一样，我比你多我就比你大，而是要借助其他的原则。
这个原则是什么呢？
我们还是从有限量的比较获得灵感。假设一个剧场有1000个座位，你一上台发现台下既没有没人坐的空位，也没有人坐在台阶上这种不该坐的地方，并且每个座位上都只有1个人，没有家长抱着小孩坐这种情况。请问：台下有多少观众？
大家一定可以立刻回答出来：1000个。那么，为什么可以立刻回答呢？
显然，在这个场景下，观众和座位形成了一一对应，因此它们的数量也一定是一样多。
在数学里，无穷大的比较遵循的是一样的标准：一一对应。如果两个无穷集合里面的元素可以形成一一对应，那么这两个集合的元素个数就是一样多。如果无穷集合A可以和无穷集合B的一个子集的元素一一对应，但集合A却无法和集合B中的所有元素进行一一对应，那么就说集合B的元素比集合A多。
一个重要的定理
现实情况下，一一对应的规则往往不好构建，很多时候我们都只能构建一个集合到另一个集合的子集的对应规则。那么，设有两个无穷集合，如果我们构建了法则可以把一一对应到，又构建了法则可以把一一对应到，那么，A和B之间是否存在一一对应呢？
答案是：一定存在。我们甚至可以直接把这个规则写出来：
为方便起见，我们现在把和分别写作和。设。根据定义，，。我们再对和使用法则，设，。由于，而是一一对应法则，根据和可知：。同理，。而这两条，就可以看做和之间的一一对应法则。
现在，重复上述操作，定义，再定义，。同理可得，，。而这两条，就可以看做和之间的一一对应法则。
如此继续下去，我们可以得到和之间，和之间。。。的对应法则。而我们的集合构建规则是和，。从和，借助和为一一对应这一特点，用数学归纳法容易证明：和。从而，将我们构建的对应规则综合起来，就形成了（即）到（即）的一一对应规则。
如果上面的表述太数学化，下面的草图可以帮大家理解：图中，相同红色数字标出的小段之间具有一一对应关系，对应法则我已经在后面用字母标出。
可见，如果我们可以构建两个法则，分别把两个无穷集合对应到对方的一个子集，我们也可以说这两个集合的元素个数一样多。
无限集的势
对于有限集，元素的个数可以用一个正整数来表示，而对于无限集，这显然不行。而我们从希尔伯特旅馆中可以看到，无限似乎又是可以比较大小的。所以，对于无限极的数量，我们必须给它一个名字。这个名字就叫做无限极的势。数学上，常用符号（读作阿列夫数，Aleph数）表示。
根据一一对应规则，如果某两个集合的元素一样多，就说它们的势相等，或它们等势，即。如果A比B元素多，就说A的势比B大，即aleph(B)" data-formula-type="inline-equation" style=""